一个多月前，人教社小学数学教材的插画引起了热议。在此笔者拟指出小学数学教材中一个比插画更为严重的问题，即2001年以来，因为“取消被乘数和乘数的区别”而导致的算术算理体系的垮塌。
一套教材的插画若有问题，其影响毕竟只限于使用该版本教材的学生，影响的时间计十来年，一旦需要可以在数月内完成撤换。可是，因为取消被乘数乘数区别而导致的算术学科概念体系的垮塌，影响到的是二十多年里发行的所有版本的小学数学教科书，以及使用它们的所有学生。而且难以在短时间里纠正。
算理体系之 “承重墙” 被打掉
设想有一幢大楼，如果楼里某一间房刷错了颜色，重新粉刷并不算太困难；可是，如果为了局部的“美观”打掉了承重墙，那么，整幢大楼便岌岌可危矣！
把小学数学主要内容（整数和分数四则运算）的算理体系比作一幢大楼的话，乘法概念的算式表述 “被乘数 × 乘数 = 积” ，就是大楼的 “承重墙”。因为除法是乘法的逆运算，分数又以整数为基础，所以，整数乘法的算理除了整数乘法本身以外，还支撑着整数除法、整数乘除混合运算、整数四则混合运算、分数乘法、分数除法、分数乘除混合运算、分数四则混合运算、整数和分数的四则混合运算等八大算理板块。整数乘法算理不明了清晰，建立于上的其他部分都无以为托。所以，对于小学数学的算理系统而言， “被乘数 × 乘数 = 积” 就是它的“承重墙”。
令人痛心的是，2001年颁布的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（下称《课标》）的一个规定，却把这座支撑着小学算术算理体系的“承重墙”打掉了。《课标》在 “数的运算”部分，对乘法的意义作出新规定：
关于乘法：3 个 5，可以写作 3×5，也可以写作 5×3。3×5 读作 3 乘 5 ，3 和 5 都是乘数 (也可以叫因数)。
这条不足五十个字、以注释形式出现的规定，否定了在我国使用了近百年的乘法算式表述以及它所代表的意义。这个改动非同小可——它打掉了支撑着大半壁算理体系的“承重墙”，将我国小学数学的整个算理体系，置于瓦解甚至坍塌的危局。随着按照《课标》要求编写的所有版本的《新世纪小学数学》课本在全国发行， “被乘数 × 乘数 = 积” 这条经典的乘法概念算式表述，便从中国小学生数学课本里消失了，取而代之的是未经推敲的“因数×因数=积” 或 “乘数×乘数=积”。非常不幸，打掉 “承重墙”后，终于出现了整个算理体系面临垮塌的后果。
以下对照《课标》颁布前后我国小学课本关于乘法概念算式表述的样本：
2013年人教社《数学》：
2009年人教社《数学》：
1988年天津教育出版社《数学》（北京、天津、上海、浙江小学数学教材联合编写组编写）：
1963年人教社《算术》：
算术算理体系的来源
“被乘数”、“乘数”这两个术语的英文原文分别是multiplicand和multiplier，最早出现于十六世纪后叶。十七世纪中页起在欧洲发行后再版过一百多次的《科克算术》，对算术学科雏形的建立和传播起到过重要的作用。《科克算术》里写着：
乘法有三个要素：被乘数、乘数、积。十八世纪大数学家欧拉，应沙皇皇后要求为俄国中学生撰写算术课本，也以此三要素讲授乘法。
十九世纪初，欧美普及小学教育运动方兴未艾，当时的一些大学数学教授，动手为小学生撰写算术课本。他们模仿欧几里得《原本》的组织方式，以 “单位一”为初始原理，定义了两个最基本的数量关系——“两个数的和”与“两个数的积”。在此基础上构建起小学算术的算理体系，把在传统商用算术中各自为政的整数和分数四则运算法则，整合在一个完整、自洽、符合数学学科标准的算理体系里，由此创建了小学算术学科。从此，“被乘数 × 乘数 = 积” 从单独的乘法定义，进一步提升为算理体系中的重要一环。
二十世纪初，中国始有现代小学数学课本，称为《算术》，正式使用被加数、加数、被减数、减数、被乘数、乘数、被除数、除数等齐整规范的术语，介绍四则运算。《算术》以小学算术学科为核心，辅以生活中常见的度量衡、初等几何等内容。八十年代初，《算术》更名为《数学》，仍采用“精选传统的算术内容”，“适当增加代数、几何的部分内容”，“渗透一些集合、函数、统计等数学思想”（见李润全等《小学数学教材60年回望》）。
从《算术》到《数学》，我国小学数学课本里乘法的算式表述，始终是国际通用的“被乘数 × 乘数 = 积” ，直到2001年后被废除。
打掉“承重墙”的起因
是什么原因，导致要废除乘法意义的算式经典表述“被乘数×乘数=积” ？废除之后，效果如何，当初废除的目的达到了吗？
2001年以前，我国小学数学教育中规定学生解答应用题列式时，须严格按照乘法概念表述式的顺序，把被乘数写在前面，把乘数写在后面。这个规定有助于学生在学习的早期就确立起乘法算理的概念，为今后的学习置下坚固的基石。
然而，列式时写对被乘数和乘数的位置却是教学中的一个难点。在解答应用题或实际生活中的问题时，学生（也包括家长甚至部分教师）的注意力往往集中在算出正确的得数，而忽略用规范的数学语言表达解题的思路。答题时，有些学生选用了乘法运算并且得数也对，却因为所列算式里被乘数乘数位置颠倒而被扣分，十分委屈。学生得分低了，教师和家长的荣誉心也受到打击。因此，乘法算式规定被乘数乘数位置的做法，受到“很多家长乃至专家的批评”，斥其 “违反教育规律”，是“挫伤学生学习积极性”的“人为障碍”、造成了学生和家长“不必要的负担”和“心理压力“。一时间舆情汹涌。
为了“减轻教师和学生不必要的负担”，2001《课标》以“快刀斩乱麻”之势，干脆把“被乘数×乘数=积”这个乘法算式表述一举取消。人们相信，此番修改当能起到釜底抽薪的作用，减轻学生负担，提高他们学习数学的兴趣和信心，必将迎来“学生、教师、家长皆大欢喜”。
意想不到的后果
不料， “废除被乘数乘数区别”的规定开始实施之后，问题接踵而来。
自2004年起，学术期刊杂志上就不断有一线教师、教研人员和高校教授陆续发表论文，从数学概念、教学实践和教学理论各方面对这一修改提出质疑、批评和担忧。云南省保山市板桥镇中心小学的信息技术员范伟昌，在《新世纪小学数学教材》甫一出版时曾为“废除区别”大声叫好，发表网文《分清被乘数和乘数，究竟有什么意思》，赞此举将对学生的“成绩提高起到非常积极的作用”，被多家教育论坛转载。然而曾几何时，范先生去听了一堂乘数是两位数的乘法的教学课，随即追发另一篇网文《由取消乘数被乘数引出的——因数的困惑》，表示“深深感到全面废除被乘数和乘数概念，对数学教学来说也是一种失败”。
以下笔者列出“废除区别”造成的十项后果，凡已有文章发表过的观点，均直接从文章引述，其作者、标题及出处按出现顺序附在本文参考文献中。
一. 整数乘法算理不清
《课标》前的小学数学课本引进乘法时，告诉学生5+5+5写成乘法算式5×3，相同加数连加的那个加数是被乘数，写在乘号前面，相同加数的个数 是乘数，写在乘号后面，算式读作5乘以3。逻辑清楚，有章可循。《课标》后引进乘法，告诉学生5+5+5写成乘法算式时，可以写成5×3，也可以写成3×5。表面上，“犯错”的可能性小了，得分容易了，但是逻辑却是混乱的。而且，学生很快会发现， 3+3+3+3+3也是既可以写成5×3，又可以写成3×5，这到底是怎么回事？要理解 5+5+5 = 3+3+3+3+3 ，认知负担更加加重了。
湖北省洪湖市汊河第一小学卢杰老师在文章中写道：
被乘数和乘数不加区分，学生虽然学得轻松，教师教得容易了，但学生还是没有真正领会乘法的意义。如：求5个6是多少。列乘法算式是6×5或5×6都可以。加法算式表示是6+6+6+6+6或5+5+5+5+5+5，这样，学生对其意义含混不清，客观上为学生设置了学习障碍。缺乏数学的严谨性和科学性。
江苏省无锡市北塘区教育局教研室程继德研究员和积余实验学校陆晓蓉老师合著的文章里写道：
由于重新定义了乘法，取消了被乘数和乘数的区别，使得乘法意义的教学成为多余。使得有些教师认为在乘法应用题的教学中，只要让学生明白用乘法计算就可以了，没有必要讲究为什么要用乘法计算。用乘法解决问题不讲算理，就是让学生处于“知其然，不知其所以然”的境地，这显然是违背了我们教育的本意。再有，不根据原来乘法的意义来认识和理解乘法应用题，把要有根据、有条理地思考，变成了只要用乘法计算，不管如何思考都行，降低了思维的要求，不利于对学生思维品质的培养，这显然是违背了我们教育改革的本意。
减轻负担、提高自信的目的达到了吗？并没有。更糟糕的是，反而给理解乘法算理增加了难度。
二. 乘法运算法则教学举步维艰
被乘数和乘数的区别取消后，还给乘法运算法则教学造成困扰。以下是程继德和陆晓蓉记录的情况：
原来教学两位数乘法时，需要叙述的算法是: 先用乘数个位上的数去乘被乘数的每一位, 积的末位写在个位上；再用乘数十位上的数去乘被乘数的每一位，积的末位写在十位上。现在如果都用乘数来叙述会指向不明, 无法表达清楚。于是，现在教学时只好说用第二个乘数个位上的数去乘第一个乘数的每一位，积的末位写在个位上；再用第二个乘数十位上的数去乘第一个乘数的每一位，积的末位写在十位上。用第一个乘数代替了原来的被乘数，用第二个乘数代替了原来的乘数, 与原来被乘数和乘数的名称相比反而更麻烦了。
同样的混乱，也出现在范伟昌所记录的一位老师讲解例题142×47的课上：
由于废除了被乘数和乘数，老师只能说用因数47的个位去乘因数142的每一位，再用因数47的十位去乘因数142的每一位，然后把两次乘得的积加起来。老师在反复讲解过程中，经常把“因数47”后面的47说漏了，就变成了“因数的个位去乘因数的每一位”，让人感到十分的不严谨，让学生听起来十分困惑。
范文接着评论道：
这个尴尬的造成不是由于老师的水平造成的，也不是老师不加强教学业务学习造成的，而是由于新课标对“被乘数和乘数”概念全面废除的恶果。
请注意，2001年以来，像以上卢文和范文里所描述的困惑辛苦的场面，每年都发生在我国成千上万的课堂里。运算法则表述得这么吃力，更遑论探讨运算法则背后的算理，数位值和乘法对加法的分配律等了。
三. 除法意义的建立失去基础
乘法算理不清，跟着受害的首先是与之密切相关的除法算理部分。
算术算理体系建立在两个最基本的数量关系之上：1）“两个数的和”；2）“两个数的积”。前者定义加法和减法这一对逆运算，后者定义乘法和除法这一对逆运算。任何一对逆运算，因为是由同一个数量关系定义的，它们所含数量项是共同的。由于这些数量项已知和未知的状态不同，决定运算的不同。
在乘法里，被乘数和乘数是已知的，积是未知的。在除法里，积反过来成为了已知数，也就是被除数；乘法中已知的被乘数或乘数，在除法里则轮流担当不同的角色：或作为已知数参与运算，或作为被求的未知数。这样的话，作为乘法逆运算的除法，就有了两种含义：
1）已知积与乘数，求被乘数，也就是求“每一份”是多少，称为“等分除”；
2）已知积与被乘数，求乘数，也就是求“多少份”，称为“包含除”：
如人教社2013版引入乘法的三组小熊气球，可以导出除法的两种含义：
“被乘数×乘数=积” 有一个比较“亲民”的版本，就是“每份数×份数=总数”。后者不如前者那么概括，但可以帮助我们更容易理解除法和乘法的关系，读者不妨自行代入试试。
向小学生导入除法概念，《课标》前后的教材都是用“分东西”的活动。可是，同样是分东西的活动，一个有乘法概念作支撑，另一个没有。
在有乘法概念支撑的情况下，“分东西”的活动在除法教学中起的是“引子”的作用。通过“分东西”，引出除法的含义，导向对两种除法形式及其和乘法关系的理解，提高学生进一步分析更复杂的数量关系的能力。
在没有乘法概念支撑的情况下， “分东西” 不是引子，而成了除法本身。教学活动始于分、止于分，中间也是分，直到全部内容结束，在数量关系的认识层面上，几乎原地不动。而除法和乘法的连接，仅靠“用乘法口诀求商”来维系。下面用人教社的两套教材作个比较。
1963年人教版《算术》课本第三册“表内除法”单元开始的时候，第一个 “分东西” 的活动孕伏着等分除概念——“把一个 数平均分成几份”：
例1 用“平均分书”的活动，引出等分除形式，除法算式的写法、各项的名称和算式的读法，以及求得数的办法。
例2用图示和文字说明等分除和乘法的关系。含两个题：1）已知每份木块有6块（被乘数），求2份（乘数）木块一共有多少。2）把12块木块（乘法运算的得数）平均分成2份，求一份是多少。在重温学生已经学过的乘法概念的基础上，导出等分除概念，揭示等分除和乘法的具体关系，也从侧面为例1所说的除法求得数的方法提供证明。
1963年人教版《算术》接着例1、例2的是另外七个例题和五个练习单位，用等分除概念教授和练习“除以2、3、4、5”。这些例题和练习里既有单纯运算题，也有强调等分除概念的看图写算式、文字题、应用题等。另外还一次一次地安排了填空题，帮助学生认识等分除的商在乘法算式里的位置：
当学生建立起了明确的等分除概念之后，课本再推出另一个活动图示题“分小棒”，引入包含除概念——求一个数里包含几个另一个数：
最后，课本用两个例题一个单位的练习，学习“乘除混合”，作为 “表内除法”单元的结束。整个单元共十九个例题十三个练习单位，层层递进，一气呵成，有理有利有节。而其根本，正在于乘法概念的明白、明了。
下图是2013人教版第四册引入表内除法内容的“分东西”活动，三个例题，例1介绍“平均分”这个术语，例2、例3相继介绍了等分、包含两种分法。
